[차량동역학]차량 횡방향 동역학 Vehicle lateral dynamics -1-

소개

차량의 횡방향 동역학은 횡방향 제어기 설계시 가장 중요한 부분이다.

 

종방향 제어의 경우 비교적 단순한 반면, 횡방향 제어는 살짝 복잡해진다.

 

운동방정식

동역학은 다음과 같은 두 가지 운동방정식으로 표현이 가능하다.

차량의 횡방향 움직임은 병진(translation)과 회전(rotation)이 모두 있기 때문에 다음과 같이 표현된다.

Kamal Mazhar, M.; Khan, M.J.; Kallu, K.D.; Ayaz, Y. Real-Time Vehicle Lateral Dynamics Estimation Using State Observer and Adaptive Filter.  Eng. Proc.   2023 ,  45 , 27. https://doi.org/10.3390/engproc2023045027

[1] $F = ma_y$ 

[2] $M = I_z \alpha$

 

위의 그림에서 $\beta = \psi$이고, $\delta_f = \delta$라고 하겠다.

 

운동방정식을 확장하면

[1]번 식은 [1-1]$F_yf + F_yr = m (\ddot y + V_x \dot \psi)$ 으로 표현되고,

[2]번 식은 [2-1]$F_{yf} l_f - F_{yr} l_r = I_z \ddot \psi$

 

후륜에는 조향이 없기 때문에 두 바퀴에 걸리는 횡방향 힘은 $slip angle$을 바탕으로

[3] $F_yf = 2C_{\alpha f} (\delta - \theta_{vf})$

[4] $F_yr = 2C_{\alpha r} (\theta_{vr})$

 

다음과 같이 표현된다.

 

slip angle $\theta_{vf}, \theta_{vr}$은

[5]$\tan \theta_{vf} = \frac {V_y + l_f \dot \psi} {V_x}$

[6]$\tan \theta_{vr} = \frac {V_y - l_r \dot \psi} {V_x}$

 

와 같이 표현되는데, 여기서 small angle approximation을 거쳐

$\tan \theta = \theta$ 와 $V_y = \dot y$로 표현을 바꿔준다.

 

[7]$\theta_{vf} = \frac {\dot y + l_f \dot \psi} {V_x}$

[8]$\theta_{vr} = \frac {\dot y - l_r \dot \psi} {V_x}$

 

그럼 이제 [7],[8]을 [3],[4]에 넣어주면

 

[9] $F_{yf} = 2C_{\alpha f}(\delta - \frac {\dot y + l_f \dot \psi} {V_x})$

[10]$F_{yr} = 2C_{\alpha r}(-\frac {\dot y - l_r \dot \psi} {V_x})$

 

와 같이 표현된다.

 

이제 [1-1]과 [2-2]에 넣어서 다시 정리해보자.

[11] $ 2C_{\alpha f}(\delta - \frac {\dot y + l_f\dot \psi} {V_x}) + 2C_{\alpha r}(- \frac{\dot y - l_r \dot \psi} {V_x}) = m(\ddot y + V_x \dot \psi)$

 

[11]을 이제 $\ddot y$에 대해 정리하면

 

[12]$\ddot y = -\frac {2C_{\alpha f} + 2C_{\alpha r}}{mV_x}\dot y - (\frac {2C_{\alpha f}l_f- 2C_{\alpha r}l_r} {mV_x}- V_x) \dot   \psi + \frac {2C_{\alpha f}}{m}\delta$

 

$2C_{\alpha f}(\delta - \frac {\dot y + l_f \dot \psi}{V_x}) l_f - 2C_{\alpha r}(-\frac{\dot y - l_r \dot \psi} {V_x}) l_r = I_z \ddot \psi$ 에서

 

[13] $\ddot \psi = -\frac{2C_{\alpha f}l_f - 2C_{\alpha r}l_r}{I_z V_x} - \frac {2C_{\alpha f}l_f^2 + 2C_{\alpha r}l_r^2}{I_z V_x} + \frac {2C_{\alpha f}l_f}{I_z}\delta$