[비선형제어]Backstepping control -3-

Backstepping 관련 마지막 포스팅이다.

 

일반적인 형태에 대해서 정리해보도록 하자.

 

시스템

$\dot \eta = f(\eta) + g(\eta)\epsilon$

$\dot \epsilon = f_a(\eta,\epsilon) + g_a(\eta,\epsilon)u$

 

이제 $\epsilon$을 보조 제어입력처럼 간주해서

$\epsilon = g^{-1}(\eta)(-f(\eta) -\eta)$

와 같은 형태로 만들어 주는

$\phi = g^{-1}(\eta)(-f(\eta)-\eta)$를 이용하고

 

그러면 다시 시스템은

$\dot \eta = f(\eta) + g(\eta)(\epsilon + \phi(\eta) - \phi(\eta))$

$\dot \eta = -\eta + z_2$

$z_2 = g(\eta)(\epsilon - \phi(\eta))$

$\dot z_2 = \frac {\partial g} {\partial \eta} \dot \eta (\epsilon -\phi) + g(\eta)(\dot \epsilon - \frac {\partial \phi} {\partial \eta} \dot \eta)$

와 같이 정리 될 수 있다.

 

이제 $z_2$가 수렴하면 $\eta$는 안정해지므로,

리아프노프 후보함수를

$V= 1/2\eta^2 + 1/2z_2^2$로 잡고

이를 미분한

$\dot V = \eta(-\eta + z_2) + z_2(\dot z_2)$

$\dot V = \eta(-\eta + z_2) + z_2([\frac {\partial g}{\partial \eta} \dot \eta (\epsilon -\phi) + g(\eta)(f_a(\eta,\epsilon)+g_a(\eta,\epsilon)u - \frac {\partial \phi}{\partial \eta} \dot \eta])$

 

이제 첫번째 항의 $\eta z_2$를 $z_2$에 대해서 묶고 두번째 항의 묶여있는 부분이 $-z_2$가 되도록 잡으면 $\dot V$ < 0 이므로 안정화되는 제어입력 $u$를 설계할 수 있다..